定义函数列如下:
1.fn(x)的定义域为:[1,+∞).
2.f1(x)=1, x∈[1,2)
f1(x)=1/x, x∈[2,+∞)
3.n>1,
fn(x)=1, x∈[1,n)
fn(x)=x^(n-1), x∈[n,n+1)
fn(x)=1/x, x∈[n+1,+∞)
4.设F(x)=∏{1≤n}fn(x),
ⅰ.x∈[1,2)
==>fn(x)=1
==>F(x)=∏{1≤n}fn(x)=1
ⅱ.x∈[k,k+1),k>1
fn(x)=1/x,n≤k-1
fk(x)=x^(k-1),
fn(x)=1,k+1≤n
F(x)=∏{1≤n}fn(x)=
=f1(x)*..*f(k-1)(x)*fk(x)*1*1...=
=(1/x)*..(1/x)*x^(k-1)*1..*1...=
=1
所以F(x)≡1,因此当x→+∞时,F(x)不是无穷小.
但对于每个fn(x),当x→+∞时,fn(x)是无穷小.
(显然Lim{x→+∞}fn(x)=0)
所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小.
一致连续这个知识点并不在一般高校高等数学的教学计划内。
无穷小定义lim<x→>α(x)=0，x可以趋于定点，也可以趋于无穷．
下面假定x→+∞，,x趋于定点的证明类似．
对任意给定的0<ε<1,存在X>0,当x>X时,
有|α(x)|<ε
设βi(x)=α1(x)α2(x)…αi(x)，lim<x→+∞>αi(x)=0（i=1,2,…），β(x)=lim<n→∞>βn(x)
只有当αn(x)一致连续的时候，无限个无穷小的乘积才是是无穷小。
由lim<x+∞>αi(x)=0知
对任意给定的0<ε<1,存在X>0,当x>X时,有|αi(x)|<ε(1≤i≤n)
得到|α1(x)α2(x)…αn(x)|<ε^n
两边令n→∞，得
|lim<n→∞>α1(x)α2(x)…αn(x)|≤lim<n→∞>ε^n=0
故lim<x→∞>β(x)=0
以上即证明了当αn(x)一致连续的时候，无限个无穷小的乘积仍是无穷小．
1.fn(x)的定义域为:[1,+∞).
2.f1(x)=1, x∈[1,2)
f1(x)=1/x, x∈[2,+∞)
3.n>1,
fn(x)=1, x∈[1,n)
fn(x)=x^(n-1), x∈[n,n+1)
fn(x)=1/x, x∈[n+1,+∞)
4.设F(x)=∏{1≤n}fn(x),
ⅰ.x∈[1,2)
==>fn(x)=1
==>F(x)=∏{1≤n}fn(x)=1
ⅱ.x∈[k,k+1),k>1
fn(x)=1/x,n≤k-1
fk(x)=x^(k-1),
fn(x)=1,k+1≤n
F(x)=∏{1≤n}fn(x)=
=f1(x)*..*f(k-1)(x)*fk(x)*1*1...=
=(1/x)*..(1/x)*x^(k-1)*1..*1...=
=1
所以F(x)≡1,因此当x→+∞时,F(x)不是无穷小.
但对于每个fn(x),当x→+∞时,fn(x)是无穷小.
(显然Lim{x→+∞}fn(x)=0)
所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小.
一致连续这个知识点并不在一般高校高等数学的教学计划内。
无穷小定义lim<x→>α(x)=0，x可以趋于定点，也可以趋于无穷．
下面假定x→+∞，,x趋于定点的证明类似．
对任意给定的0<ε<1,存在X>0,当x>X时,
有|α(x)|<ε
设βi(x)=α1(x)α2(x)…αi(x)，lim<x→+∞>αi(x)=0（i=1,2,…），β(x)=lim<n→∞>βn(x)
只有当αn(x)一致连续的时候，无限个无穷小的乘积才是是无穷小。
由lim<x+∞>αi(x)=0知
对任意给定的0<ε<1,存在X>0,当x>X时,有|αi(x)|<ε(1≤i≤n)
得到|α1(x)α2(x)…αn(x)|<ε^n
两边令n→∞，得
|lim<n→∞>α1(x)α2(x)…αn(x)|≤lim<n→∞>ε^n=0
故lim<x→∞>β(x)=0
以上即证明了当αn(x)一致连续的时候，无限个无穷小的乘积仍是无穷小．